martes, 22 de mayo de 2007

EJERCICIOS DE COLAS

INVESTIGACION DE OPERACIONES II
PROBLEMAS DE TEORIA COLAS
PROBLEMA 1.
Una empresa de reproducción gráfica tiene cuatro unidades de equipo automáticas, peroque en ocasiones están fuera de servicio porque requieren suministros, mantenimiento oreparación. Cada unidad requiere mantenimiento aproximadamente 2 veces por hora o,para ser más precisos, cada unidad de equipo funciona durante un promedio de 30minutos antes de requerir servicio. Los tiempos de servicio varían, desde unmantenimiento sencillo (como oprimir un botón de reinicio o colocar el papel) hasta unacomplicada operación de desmontaje del equipo. Sin embargo, el tiempo promedio deservicio es de cinco minutos.El tiempo de inactividad del equipo ocasiona una pérdida de 20 dólares por hora. Elúnico empleado de mantenimiento recibe 6 $/hora. Utilice el análisis de colas conpoblación finita para calcular:
1. El número promedio de unidades en cola.2. El número promedio de unidades en operación.3. El número promedio de unidades en el sistema de mantenimiento.
4. La empresa piensa contratar a otro empleado de mantenimiento a 6 $/hora.¿Debe hacerlo?
Solución
Lq=1,614-L=1,43L=2,57M/M/1//4 => 57,40 $/h
PROBLEMA 2.
Una compañía ferroviaria pinta sus propios vagones de ferrocarril según se vannecesitando. La alternativa 1 consiste en proporcionar dos talleres de pintura en los quese pinta a mano (un vagón cada vez en cada taller), con un coste total anual de 300.000$. El tiempo de pintado para cada vagón es de seis horas (exponencial). La alternativa 2consiste en proporcionar un taller de pintura aerosol que implica un coste anual de400.000 $. En este caso, el tiempo de pintado por vagón (de nuevo uno a la vez) es detres horas (también exponencial). Para ambas alternativas, los vagones llegan deacuerdo a un proceso Poisson con una tasa media de 1 cada 5 horas. El coste por vagóninutilizado es de 50 $/hora. ¿Qué alternativa debe elegir la compañía ferroviaria?Supóngase que los talleres de pintura siempre están abiertos, es decir, trabajan(24)•(365)=8760 horas por año.
Solución1 => 127 $/h2 => 120 $/h
PROBLEMA 3.
Durante la feria, el puesto de coches de choque tiene el problema de que los coches seaverían y requieren reparaciones con demasiada frecuencia. Se puede contratar personalpara las reparaciones a 15 $/hora, pero sólo trabajan en equipo, es decir, si se contrata auna persona, trabaja sola; si son dos, tres o cuatro personas, sólo pueden trabajar juntasen la misma reparación.Una única persona puede reparar vehículos en un tiempo promedio de 30 minutos; dospersonas tardan 20; tres tardan 15 minutos y cuatro, 12 minutos. Si un vehículo estáinactivo, las pérdidas ascienden a 20 $/hora. El promedio de averías en vehículos es dedos por hora (suponer población infinita y todas las distribuciones exponenciales).¿A cuántas personas hay que contratar para las reparaciones?
Solución2 personas => 70 $/h3 personas => 65 $/h4 personas => 73,3 $/h
PROBLEMA 4.
En un hospital se recibe un promedio de 20 solicitudes de ambulancias por hora. Unaambulancia necesita un promedio de 20 minutos para recoger un paciente y llevarlo alhospital. La ambulancia queda disponible entonces para recoger otro paciente. ¿Cuántasambulancias debe tener el hospital para asegurar que no haya más del 1% deprobabilidades de no poder atender de inmediato una solicitud de ambulancias?.Suponga que los tiempos entre solicitudes están distribuidos exponencialmente.
Solucións=13 => Pw=2,1%s=14 => Pw=0,9%}
PROBLEMA 5.
La Newcoat Painting Company, durante largo tiempo, ha tenido una alta demanda de suservicio de pintura de automóviles. Como ha tenido que rechazar trabajos, a la gerenciale preocupa que la causa de la pérdida de ingresos sea el espacio restringido de quedispone para guardar los automóviles que tiene que pintar. Al lado de las instalacioneshay un pequeño solar vacío, que se ofrece en renta a un coste de 10 $/día. La gerenciacree que cada cliente perdido supone 20 $ de pérdidas. Se calcula que la demanda actuales de 21 automóviles por día con tiempos exponenciales entre llegadas, incluyendo losque debe rechazar por no haber espacio para la espera, y el taller puede dar servicio a 24coches por día (exponencial). El espacio de espera está limitado actualmente a 9 autos,pero si se alquila el solar adjunto, se puede aumentar a 20 vehículos en total. Newcoatdesea saber si le se debe alquilar el solar vacío. También se desea conocer las pérdidasdiarias por culpa de rechazar trabajos, actualmente y si se alquila el solar. Sólo se puedepintar un coche a la vez.
SoluciónActual Q=10 Cost Balked=17,94 $/diaTotal Cost=17,94 $/diaActual Q=21 Cost Balked= 3,35 $/diaTotal Cost=13,35 $/dia
PROBLEMA 6.
En un restaurante se calcula que por hora se piden 20 órdenes de platillos muy variados.El gerente del restaurante esta preocupado porque se sirven los platillos hasta 20 minutos después de su orden, en algunos casos, las personas deciden irse; el gerente ha tomado la decisión de que debe contratar a más chefs ¿Cuántos chefs debe contratar para que no más del 11% de los clientes tengan que irse?.
Solucións=13 => Pw=2,1%s=14 => Pw=0,9%
PROBLEMA 7.
El Banco Nacional de Occidente piensa abrir una ventanilla de servicio en automóvilpara servicio a los clientes. La gerencia estima que los clientes llegarán a una tasa de 15por hora. El cajero que estará en la ventanilla puede atender clientes a una tasa de unocada tres minutos.Suponiendo que las llegadas son de Poisson y que el servicio es exponencial, encuentre:1. La utilización del cajero.2. El número promedio en cola.3. Número promedio en el sistema.4. Tiempo promedio de espera en cola.5. Tiempo promedio de espera en el sistema (incluyendo el servicio).Por la disponibilidad limitada de espacio y el deseo de proporcionar un nivel de servicioaceptable, el gerente del banco quisiera asegurar, con un 95% de certeza que los clientesno tengan que esperar y sean atendidos inmediatamente. Para ello tiene dos opciones:conseguir que el empleado de la ventanilla trabaje más rápido, o poner más empleadosconservando la misma tasa de servicio. Evaluar las dos posibilidades.
Soluciónp=0.75Lq=2.25L=3Wq=9 minutosW=12 minutosPw<=0.05 => u=5
cl/minutoPw<=0.05 => s=3 servidores
PROBLEMA 8.
L. Winston Martín es un alergólogo de Tucson con un excelente sistema para atender asus clientes habituales que sólo van por inyecciones antialérgicas. Los pacientes lleganpor una inyección y llenan una papeleta, la cual se coloca en una rendija que comunicacon otra sala, donde están una o dos enfermeras. Se preparan las inyecciones específicaspara un paciente y se le llama por el sistema de megafonía para que pase a la sala para lainyección. A ciertas horas del día, baja la carga de trabajo y solo se requiere unaenfermera para aplicar las inyecciones.Centrémonos en el más sencillo de los dos casos, es decir, cuando sólo hay unaenfermera. Suponga también que los pacientes llegan de forma aleatoria y que la tasa deservicio de una enfermera está distribuida exponencialmente. Durante el periodo máslento, los pacientes llegan aproximadamente cada tres minutos. La enfermera necesitados minutos para preparar el suelo del paciente y aplicar la inyección.1. ¿Cuál es promedio de personas que estarían en el consultorio del Dr. Martín?2. ¿Cuánto tiempo tardaría una persona en llegar, recibir la inyección y salir?3. ¿Cuál es la probabilidad de que estén tres o más pacientes en el consultorio?4. ¿Cuál es la utilización de la enfermera?
Solución L=2W=6 minutosP(L>2)=30%p=66,67%
PROBLEMA 9
Se trata de elegir entre dos tipos de equipo de manejo de materiales, A y B, paratransportar cierto tipo de bienes entre distintos centros de producción dentro de un taller.La necesidad de una unidad de este equipo para mover una carga es en esencia aleatoria(es decir, sigue un proceso de entradas Poisson) con una tasa media de 4 por hora. Eltiempo total requerido para mover una carga sigue una distribución exponencial, conmedia 12 minutos con el equipo A y 9 minutos con el B. El coste total uniformeequivalente por hora (coste de recuperación de capital más el coste de operación) sería50 $ para A y 150 $ para B. Se estima que el coste de los bienes inútiles (en espera deser transportados o en tránsito) causados por el aumento de inventario de materiales enproceso es 20 $/hora y carga. Además, la programación de trabajo en los centros deproducción proporciona sólo una hora entre la terminación del proceso de una carga enun centro y la llegada de esa carga al siguiente centro. Así, debe asociarse un coste de100 $/carga y hora de retraso (incluyendo el tránsito) después de la primera hora, porpérdida de producción debida al personal y equipo desocupados, costes extras paraacelerar la producción y supervisarla, etc.Suponiendo que sólo se comprará un equipo de manejo de materiales, ¿cuál de los dosdeberá seleccionarse?
Solución A => 130 $/h 1B => 180 $/h
PROBLEMA 10. Una empresa de ingeniería contrata a un especialista técnico para que auxilie a cincoingenieros de diseño que trabajan en un proyecto. El tiempo de ayuda del especialistavaría considerablemente; algunas de las respuestas las tiene en la cabeza; otras requierencálculos; y otras más requieren mucho tiempo de investigación. En promedio, elespecialista tarda una hora con cada solicitud.Los ingenieros requieren el apoyo del especialista una vez al día, en promedio. Puestoque cada ayuda tarda aproximadamente una hora, cada ingeniero puede trabajar sietehoras, en promedio, sin ayuda.1. ¿Cuántos ingenieros, en promedio, esperan ayuda del especialista técnico?2. ¿Cuál es el tiempo promedio que tiene que esperar un ingeniero al especialista?3. ¿Cuál es la probabilidad de que un ingeniero tenga que esperar en cola alespecialista?
SoluciónLq=2,44Wq=2,49 horasPw=98,22%
PROBLEMA 11.
Una tienda de bebidas ha determinado que es económicamente factible añadir unaventanilla para dar servicio a los automóviles, con espacio para dos vehículos: uno en laventanilla y otro esperando. El dueño quiere saber si le conviene alquilar más espacio deespera.Se espera que los automóviles lleguen (según una distribución de Poisson) a una tasa deocho por hora. En la ventanilla se puede atender a una tasa de 10 automóviles por hora(exponencial). Cada transacción deja un beneficio de 1 $, y el dueño piensa abrir 12horas al día, 6 días por semana y 52 semanas al año. Los espacios adicionales cuestan2000 $/año cada uno. ¿Cuántos vale la pena alquilar?.
SoluciónQ=2 => efect=5 c/h => Bº=22089 $/añoQ=3 => efect=6,61 => Bº=22747 $/añoQ=4 => efect=7,02 => Bº=22282 $/año
PROBLEMA 12.
El departamento de investigación de operaciones de una universidad tiene dos líneastelefónicas. Un promedio de 30 personas por hora tratan de llamar al departamento, y lalongitud promedio de cada llamada es de 1 minuto. Si una persona trata de llamarcuando ambas líneas están ocupadas, cuelga y se pierde del sistema. Suponer que eltiempo entre las llamadas que tratan de comunicarse, así como los tiempos de servicio,son exponenciales.1. ¿Qué fracción del tiempo estarán libres ambas líneas? ¿Qué fracción de tiempoestán ocupadas las dos? ¿Qué fracción de tiempo habrá desocupada exactamenteuna línea?2. En promedio, ¿cuántas líneas están ocupadas?En promedio, ¿cuántas solicitudes colgarán cada hora?
SoluciónP0=61,5%P2=7,6%P1=0,3%
PROBLEMA 13.
En el departamento de servicio del concesionario de automóviles Glenn-Mark, losmecánicos que necesitan recambios para la reparación o el servicio de un automóvilpresentan sus formularios de solicitud en el mostrador del departamento de recambios.El empleado del departamento llena una solicitud y va a buscar el repuesto que le hapedido el mecánico. Los mecánicos llegan en forma aleatoria (Poisson) a una tasa de 40por hora mientras que el empleado puede completar 20 solicitudes por hora(exponencial). Si el coste de un empleado del departamento de recambios es de 6 $/horay el de un mecánico es de 12 $/hora, determinar el número óptimo de empleados para elmostrador. (Por la alta tasa de llegadas, se puede suponer una población infinita)
Solución s=4 => Coste Total=26$/hora
PROBLEMA 14.
Se está estudiando un pequeño negocio de lavado de autos. Los clientes llegan deacuerdo a un proceso Poisson con una tasa media de 15 por hora y solo se puede lavarun coche a la vez. El tiempo que se requiere para lavar un auto sigue una distribuciónexponencial con tasa media de 4 minutos. También se ha observado que los clientes quellegan cuando hay 4 coches en el sistema (incluyendo el que se está lavando), se van yllevan su auto a otro lado. La pérdida de la ganancia incremental por cada cliente que seva es de 3 $.Se han hecho dos propuestas. La propuesta 1 incluye agregar cierto equipo, a un costecapitalizado de 3 $/hora, que reduciría el tiempo esperado de lavado a tres minutos.Además, se daría una garantía a cada cliente que llega de que si tiene que esperar másde media hora para que le entreguen su auto listo, tendrá derecho a un lavado gratuito (aun coste marginal de 2 $ para la compañía). Esta garantía se publicará en un letrero, porlo que se piensa que no se perderán más clientes.La propuesta 2 consiste en obtener el equipo más avanzado que existe, a un costeincremental de 10 $/hora, en el que cada vehículo pasaría por dos ciclos sucesivos. Eltiempo requerido para un ciclo sigue una distribución exponencial de media un minuto,es decir, el tiempo total esperado de un lavado sería de dos minutos. Se piensa que elaumento de velocidad y eficiencia hará que ningún cliente que llegue se vaya.El dueño piensa que en el análisis de las alternativas debe incluirse la pérdida de imagen(que podría derivar en pérdida de clientes en el futuro), cuando los clientes tienen queesperar antes de que se comience a lavar su automóvil, con un coste de 0,1 $/minuto deespera.Evalúe el coste total esperado por hora del estado actual, de la propuesta 1 y de lapropuesta 2 para determinar cuál debe elegirse.
SoluciónActual => 16,2 $/hAlt 1 => 16,5+0,202=16,7 $/hAlt 2 => 13 $/h
PROBLEMA 15.
El gerente de un banco debe determinar cuántos cajeros deben trabajar los viernes. Porcada minuto que un cliente espera en la cola, se supone que se incurre en una pérdida de0,05 $. Al banco llegan un promedio de 2 clientes por minuto. En promedio, un cajerotarda 2 minutos en tramitar la transacción de un cliente. Al banco le cuesta 9 $/hora lacontratación de un cajero. Los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio sonexponenciales.
Solucións=4 => Inestables=5 => 0,86 $/mins=6 => 0,92 $/min